我们来看一道题：
题目
椭圆$\Gamma$ : $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$，左顶点为$C$. 过$P(-2,1)$的直线交$\Gamma$ 于$A$、$B$（$A$在$B$左侧），连接$BC$，过$A$作$x$轴垂线交$BC$于$D$，求$AD$中点$E$所在直线方程.
分析
拿到这道题第一个思路大概是设直线方程解点硬算，或者设点解点还是硬算，缺乏美感.
- 第一个简化办法是参数方程，不过只简化了椭圆方程联立这一步，效果不显著.
- 第二个简化办法，即然已经参数方程了，为什么不仿射回单位圆，再参数方程？此题不涉及线段长度，适合仿射.
- 第三个简化方法，注意到$AD//PC$，平行线分线段成比例，那么记$PC$中点为$M$，有$\frac{ME}{MB}=\frac{PA}{PB}$。我们可以利用向量求出$E$坐标.
- 第四个简化方法，上述比例使我们想到圆幂定理，事实上这完全可行.
解
简记：$c=\cos\theta$ ,$s=\sin\theta$.
进行仿射：$x\mapsto \frac{x}{2}$，得到单位圆，此时$P(-1,1),M\left( -1,\frac{1}{2} \right)$. 设$B(c,s)$.
由圆幂定理得：
\(PA\cdot PB=PA\cdot \sqrt{ (c+1)^{2}+(s-1)^{2} }=PA\cdot \sqrt{ 3+2c-2s }=1\)
可得：
\(\frac{ME}{MB}=\frac{PA}{PB}=\frac{PA}{\sqrt{ 3+2c-2s }}=\frac{1}{3+2c-2s }:=\lambda\)
向量关系（定比分点）：
\(\begin{align}
\overrightarrow{BM}&=-\frac{1}{\lambda}\overrightarrow{ME}\\
-1=\frac{\lambda c-x_{E}}{\lambda-1},&\ \frac{1}{2}=\frac{\lambda s-y_{E}}{\lambda-1}\\
y_{E}-\frac{1}{2}&=\lambda\left(s-\frac{1}{2}\right)\tag{1} \\
x_{E}+1&=\lambda(c+1)\tag{2}
\end{align}\)
(1)与(2)作差：
\(\left( y_{E}-\frac{1}{2} \right)-(x+1)=\lambda\left( s-c-\frac{3}{2} \right)=-\frac{1}{2}\)
$E$在直线$y=x+1$上.
注意仿射回原坐标系！
$E$在直线$y=\frac{1}{2}x+1$上.
遗留问题
E所在直线恰好是P关于椭圆的极线，这是巧合吗？
这个流程必须使用仿射，而仿射在高考中可能得不到分。但整个流程自然优美，重在思考，减少计算，应当是高考所鼓励的。