抛物线 $y^2=2px$ ，过点 $Q(q,0)$ 有直线 $AC:x=m_{1}y+q、BD:y=m_{2}x+q$ 交抛物线于 $A(左上）、B（右上）、C（左下）、D（右下）$ ， 连接 $AD、BC$ 分别交 $x$ 轴于 $M、N$ ，则 $\frac{x_{N}}{q}=\frac{q}{x_{M}}=\frac{QN}{QM}=\frac{k_{AD}}{k_{BC}}$， $\frac{S_{ADQ}}{S_{BCQ}}=\frac{QM^2}{QN^2}$ .
证明
过 $A、B、C、D$ 的曲线系可描述为：
\[\lambda (y^2-2px)+\mu(m_{1}y+q-x)(m_{2}y+q-x)=0 \tag{0}\]令 $y=0$ 可得该曲线系与 $x$ 轴交点满足的方程：
\[x^2-2\left( \frac{\lambda}{\mu} p+q \right)x+q^2=0 \tag{1}\]设 $AD:x=t_{1}y+r_{1}，BC:x=t_{2}y+r_{2}$ ，则 $AD、BC$ 构成的曲线系可表示为：
\[(t_{1}y+r_{1}-x)(t_{2}y+r_{2}-x)=0\]令 $y=0$ ：
\[x^2-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}=0 \tag{2}\]比对 $(1)(2)$ 系数，显然 $r_{1}r_{2}=q^2$。再结合比例的性质可得：
\[\frac{r_{1}}{q}=\frac{q}{r_{2}}=\frac{r_{1}-q}{q-r_{2}}\]即：
\[\frac{x_{N}}{q}=\frac{q}{x_{M}}=\frac{QN}{QM}\]令 $(0)$ 中 $x=q$ 得：
\[(\lambda+\mu m_{1}m_{2})y^2-2\lambda pq=0\]观察发现无关于 $y$ 的一次项，故 $AD、BC$ 与 $x=q$ 的交点关于 $x$ 轴对称，记交点纵坐标绝对值为h，所以：
\[\frac{k_{AD}}{k_{BC}}=\frac{h}{QM}/\frac{h}{QN}=\frac{QN}{QM}\]$\square$
班里巨佬都会了，只有属于蒟蒻的我才刚学😭