现有单摆$\theta=\theta_{0}\cos(\omega t)$，现缓慢拉动绳子使摆长缩短。 已知：
\[\theta=\theta_{0}\cos(\omega t)\]对时间求导得角速度：
\[\dot{\theta}=-\theta_{0}\omega \sin(\omega t)\]单摆机械能：
\[E=-mgl\cos\theta_{0}=\frac{1}{2}mgl\theta_{0}^2-mgl\]法向动力学方程：
\[T-mg\cos \theta=ml\dot{\theta }^2\]上式移项，不难得出一个周期内绳上拉力平均值：
\[\left<{T}\right>=mg\left<{\cos \theta}\right>+ml \left< \dot{\theta}^{2} \right>=mg\left< 1-\frac{1}{2}\theta^{2} \right> +ml\left<\dot{\theta}^{2}\right>\]一个周期内 $\theta^{2}$平均值：
\[\left< \theta^{2}\right> =\frac{1}{T}\int_{0}^T \theta_{0}^{2}\cos ^{2}(\omega t)\, dt=\frac{1}{2}\theta_{0}^{2}\]一个周期内$\dot{\theta}^{2}$平均值：
\[\left< \dot{\theta}^{2} \right> =\frac{1}{T}\int _{0}^T \theta_{0}^{2}\omega^{2}\sin ^{2}(\omega t) \, dt=\frac{1}{2}\omega^{2}\theta_{0}^{2}=\frac{\theta_{0}^{2}g}{2l}\]则绳上张力平均值（到此解决2024年中科大少创班初试物理倒数第二题第一问）：
\[\left< T \right> =mg(1+\frac{1}{4}\theta_{0}^{2})\]一个周期内绳上张力做功的大小等于单摆能量变化量。因 $\mathrm{d}l$ 为正代表绳子伸长，此处绳子缩短，故冠负号（到此解决第二问）。
\[\begin{align} -\left< T \right> \mathrm{d}l&=\mathrm{d}E \\ -mg\left( 1+\frac{1}{4}\theta_{0}^{2} \right)\mathrm{d}l &=\mathrm{d}\left( \frac{1}{2}mgl\theta_{0}^2-mgl \right) \\ -mg\left( 1+\frac{1}{4}\theta_{0}^{2} \right)\mathrm{d}l &=mgl\theta_{0}\mathrm{d}\theta_{0}+\frac{1}{2}mg\theta_{0}^{2}\mathrm{d}l-mg\mathrm{d}l \end{align}\]化简得：
\[\frac{3}{4}\theta_{0}^{2}\mathrm{d}l+\theta_{0}l\mathrm{d}\theta_{0}=0\]即：
\[\frac{3}{4}\frac{\mathrm{d}l}{l}+\frac{\mathrm{d}\theta_{0}}{\theta_{0}}=0\]移项积分得（到此解决第四问）：
\[\theta_{0}l^{\frac3 4}=const\]